Problème des marchands de glaces

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• Sous la pression, le marchand de glaces en question ne voit qu'une seule solution à son problème, il se rapproche du centre de la plage pour contrôler un... (source : théorie des jeux. Dans ce jeu, comme dans bien d'autres, il est fait l'hypothèse que chaque joueur, qui sont ici deux marchands de glace, essaye de maximiser ses propres bénéfices.

  Énoncé

  Deux marchands de glace doivent choisir un emplacement sur une plage où les clients sont répartis uniformément. On suppose les prix et produits des marchands semblables, de sorte que chaque client se dirigera toujours vers le marchand le plus proche. La question est double. D'une part, il s'agit de déterminer la position d'équilibre de ce jeu, c'est-à-dire la façon dont les marchands vont se placer sur la plage, en supposant que chacun ne cherche qu'à maximiser ses bénéfices. D'autre part, il s'agit d'analyser l'optimalité de cet équilibre, du point de vue des marchands et des clients.

  Équilibre

  Quand les deux marchands sont installés, ils se partagent naturellement la plage en deux zones : la zone d'un marchand est la totalité des points de la plage qui sont plus près de lui que de l'autre marchand (notion de diagramme de Voronoï). Il n'est pas complexe de voir que ces zones correspondent à un découpage de la plage par la médiatrice du segment reliant les deux marchands (schéma ci-dessous, à gauche — la médiatrice étant la ligne verticale noire).

  Si un des deux marchands a une zone plus petite que l'autre (c'est le cas s'il est plus loin du centre de la plage), il peut accroître sa zone en se déplaçant (schéma ci-dessous, à droite). Il n'y a par conséquent pas équilibre.

  

  Il ne peut par conséquent y avoir équilibre que si les deux zones ont la même taille, c'est-à-dire si les marchands sont tous deux de part et d'autre du milieu de la plage, à égale distance (ci-dessous, gauche). Mais, si l'un des marchand se rapproche alors du milieu de la plage (ci-dessous, droite, le vendeur bleu se déplace vers la gauche), il accroîtra sa zone au détriment de l'autre, qui devra aussi se rapprocher du milieu de la plage pour conserver «sa» moitié de plage.

  

  Du coup, les deux marchands se rapprochent spontanément du milieu de la plage, jusqu'à s'y trouver l'ensemble des deux (ci-dessous, gauche). Il y a alors équilibre : chaque marchand a une moitié de plage, et s'il se déplace un peu d'un côté ou de l'autre, il verra sa zone décroître au profit de son concurrent (ci-dessous, droite, le vendeur rouge se déplace vers la gauche). C'est l'équilibre de Nash de ce jeu.

  

  Optimalité

  Si on suppose que les clients se déplaceront toujours vers le plus proche marchand, quel que soit sa position, alors le jeu est à somme nulle : la somme des gains des marchands sera la même dans l'ensemble des cas.

  Cependant, ce jeu produit des externalités : les clients ne sont pas indifférents à la position des marchands, dans la mesure où ils devront marcher en conséquence. Surtout, la position d'équilibre, avec les deux marchands au centre de la plage, est loin d'être parfaite : certains clients doivent traverser la moitié de la plage pour acheter leur glace.

  Une répartition bien meilleure des vendeurs serait d'en avoir un au milieu de chaque moitié de la plage (deuxième des trois schémas ci-dessus, gauche). Dans ce cas, non seulement chaque vendeur aurait toujours une zone égale à la moitié de la plage, mais les clients ne devraient traverser qu'au plus le quart de la plage pour acheter leur glace. Il ne s'agit cependant pas d'un équilibre.

  Ainsi, du point de vue des clients, l'équilibre de ce jeu n'est pas optimal. Il est envisageable de rendre cet équilibre non-optimal pour les marchands aussi : il suffit de supposer qu'un client préfère renoncer à sa glace que de traverser plus du tiers de la plage. Dans ce cas toujours, l'équilibre est le même (marchands au milieu de la plage), mais les marchands ne vendent des glaces qu'aux deux tiers des clients potentiels (tandis qu'ils en vendraient à l'ensemble des clients en étant positionnés au milieu de chaque moitié de la plage).

  Moralité

  Le problème des marchands de glace forme un exemple typique d'équilibre non-optimal, fréquemment évoqué pour montrer que, au contraire de la théorie de la main invisible attribuée (abusivement) à Adam Smith, si chaque acteur économique raisonne individuellement selon son intérêt (aller vers le milieu de la plage), alors il peut en résulter une situation pire que si les acteurs se concertaient (se placer au milieu de chaque moitié).

Principaux mots-clés de cette page : marchands - plage - équilibre - clients - zones - milieu - glace - moitié - jeu - dessous - gauche - vers - toujours - position - vendeur - part - agit - point - schéma - droite -

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